|
Основной перевод: Павел Файман.
Большинство потоков жидкостей, с которыми мы знакомы, в ваннах и в
плавательных бассейнах, не являются вращательными, или их вращение
настолько слабо, что оно не представляет интерес, за исключением может
быть того случая, когда происходит слив воды в ванной. В результате
у нас нету хорошего интуитивного понимания вращательного потока.
В океане вращение и сохранение завихренности сильно влияет на потом
на расстояниях, превышающих несколько десятков километров. Последствие
вращения приводит к результатам, которых не видно в нашей повседневной
практике с течениями. Например, спросите себя – почему завихренность
напряжения трения ветра приводит к тому, что транспорт масс происходит
в северо-южном направлении а не в востоко-западном? Что особенного
в северо-южном переносе? В этой главе мы исследуем некоторые
последствия вращения для потоков в океане.
12.1 Определение Завихренности
Если говорить простыми словами, завихренность – это вращение потока.
Скорость вращения можно определить разными путями. Рассмотрим резервуар
с водой, стоящий на столе в лаборатории. Вода может вращаться
в резервуаре. В добавок ко вращению воды, вращаются резервуар
и лаборатория, поскольку они находятся на поверхности вращающейся
планеты. Эти два процесса различны и приводят к двум типам
завихренности.
Планетарная завихренность. Все, что находится
на Земле, включая океаны, атмосферу и резервуары с водой, вращается
вместе с Землей. Это вращение называется планетарной завихренностью
и обозначается символом f. Она равна удвоенной скорости вращения Земли
в конкретной точке.
 12.1
Планетарная завихренность – это параметр Кориолиса, который
мы использовали ранее при обсуждении океанических потоков. Этот
параметр достигает максимального значения на полюсах, где он равен
удвоенной скорости вращения Земли. Заметим что завихренность равна нулю
на экваторе и отрицательна в южном полушарии (поскольку угол φ
отрицателен).
Относительная завихренность. Океан и атмосфера
вращаются со скоростью, которая не равна в точности той скорости
вращения, которую имеет планета. Они (океан и атмосфера) имеют
некоторое вращение относительно Земли благодаря течениям и ветрам.
Относительная завихренность ζ это та завихренность, которая возникает
вследствии течений в океане. Математически ее можно выразить так:
 12.2
Где V = (u, v) вектор горизонтальной скорости. Мы предполагаем
что поток двумерный. Это допущение истинно если протяженность потока
превышает расстояние несколько десятков километров. z – вертикальная
компонента трехмерного вектора завихренности w, и иногда
он обозначается как w z
. ζ положительный для вращения против часовой стрелки если смотреть
сверху. Тот же знак имеет вращение Земли в северном полушарии.
Замечание об используемых обозначениях. Символы, обычно
используемые в каком либо разделе океанографии, имеют совсем другое
значение в другом разделе. В этом разделе мы используем символ ζ
для обозначения завихренности, но в главе 10 мы используем ζ
для обозначения высоты поверхности моря. Мы можем использовать
обозначение w z для относительной завихренности, но символ
w так же широко применяется для обозначения частоты вращения в радианах
в секунду. Я сделал попытку исключить большинство сбивающих с толку
случаев, но двойное использование символа ζ – единственный случай,
с которым нам придется мириться. К счастью он не должен вызывать
большую путаницу.
Для жесткого тела, вращающегося со скоростью Ω, curlV = 2Ω. Конечно
потоку не нужно вращаться как жесткому телу что бы иметь относительную
завихренность. Завихренность может быть так же результатом сдвига.
Например, на северо/юго-западной границе в океане, u=0, v=v(x) и ζ =
∂v(x)/∂x.
ζ обычно намного меньше чем f, и достигает максимального значения
на границе быстрых течений, таких как Гольфстрим. Что бы получить
представление о величине ζ, рассмотрим край Гольфстрима на удалении
от мыса Гатерас, где уменьшение скорости течения составляет 1 м/сек
на 100 км на границе. Вихрь течения приблизительно равен (1 м/сек) /
(100 км) = 0.14 оборот/сутки = 1 оборот/неделя. Следовательно даже
такое большое значения относительной завихренности почти в семь
раз меньше значения f. Наиболее типичное значение относительной
завихренности, например завихренность в вихрях, равно одному обороту
в месяц.
Абсолютная завихренность. Сумма планетарной и относительной завихренности называется абсолютной завихренностью.
 12.3
Мы можем получить уравнения абсолютной завихренности в океане путем
простейших преобразований уравнений движения для потока невязкой
жидкости. Возьмем следующую систему уравнений:
 12.4a
 12.4б
Если мы разложим общую производную, продифференцируем уравнение(12.4а)
по у, а уравнение (12.4b) по х и вычтем первое из второго исключая
при этом слагаемые с давлением, то получим после некоторых
алгебраических преобразований следующее:
 12.5
При выводе (12.15) мы использовали следующее:
Поскольку f не зависит от времени и от долготы.
Потенциальная завихренность. Скорость вращения столба
жидкости меняется если столб удлиняется или укорачивается. Это изменяет
завихренность через изменения относительной завихренности ζ.
Что бы увидеть как это происходит рассмотрим баротропный,
геострофический поток в океане с глубиной H(x,y,t), где H – расстояние
между поверхностью моря и глубиной. Таким образом мы допускаем
что поверхность имеет топографию (рисунок 12.1).
Рисунок 12.1. Схема потока жидкости, использующаяся для вывода сохранения потенциальной завихренности
Интегрирование уравнения неразрывности (7.19) от дна до поверхности океана дает следующее (Cushman-Roisin, 1994):
 12.6
Где b – топография глубины, H – толщина водного столба. Граничные
условия требуют что бы поток на поверхности и дна был вдоль поверхности
и дна. Таким образом вертикальная компонента скорости на поверхности
и дне равна:
 12.7
 12.8
Подставляя (12.7) и (12.8) в (12.6) мы получим:
Подстановка этого в (12.5) дает:
Которое может быть написано в виде:
Величина в круглых скобках должна быть константой. Эта величина носит
название – потенциальная завихренность P. Потенциальная завихренность
сохраняется вдоль траектории потока.
 12.9
Для бароклинного потока в постоянно стратифицированном потоке, потенциальная завихренность может быть выражена:
 12.10
Где λ – любая сохраняющаяся величина для каждого элемента потока. В частности, если λ = ρ, тогда:
 12.11
Если, горизонтальные градиенты плотности малы, по сравнению
с вертикальными градиентами, то (12.11) будет хорошим приближением
для термоклина. В водной толще большинства районов океана, f
ζ и (12.11) может быть выражена в виде:
 12.12
Это соотношение позволяет определить потенциальную завихренность
в различных слоях водной толщи океана напрямую из гидрографических
данных не привлекая информацию о поле скоростей.
12.2 Сохранение завихренности
Угловой момент любого изолированного вращающегося тела сохраняется.
Вращающееся тело может быть вихрем в океане или планетой
в пространстве. Если вращающееся тело не изолировано, тогда, в случае
если оно связано с другим телом, возможен перенос углового момента
между телами. При этом не нужно что бы был физический контакт между
двумя телами. Гравитационные силы могут переносить момент между телами
в пространстве. Мы еще вернемся к этой теме в главе 17 когда будем
обсуждать приливы в океане. В этой же разберем сохранение завихренности
во вращающемся океане.
Трение играет важную роль при передаче количества движения в потоке.
Трение передает количество движения от атмосферы к океану через тонкий,
вязкостный слой Экмана на поверхности моря. Трение передает количество
движения от океана к твердой земле через слой Экмана на дне моря.
Трение вдоль краев подводных гор приводит к разнице давления на каждом
крае гор, которое вызывает другой тип сопротивления, т.н. сопротивление
формы. Это тоже самое сопротивление, которое вызывает сила ветра
на машину, которая едет с высокой скоростью. Тем не менее во всех
обширных внутренних районах океана поток свободный от трения
и завихренность сохраняется. Такой поток называют консервативным.
Рисунок 12.2. схема образования относительной завихренности
с изменением высоты водного столба. При движении вертикального столба
жидкости слева направо, растяжение по вертикали уменьшает момент
инерции столба, вызывая рост скорости вращения.
Сохранение потенциальной завихренности. Сохранение
потенциальной завихренности связывает изменения глубины, относительной
завихренности и изменения широты. Все трое влияют друг на друга.
- изменения толщины потока H производит изменения
относительной завихренности. Общее представление об этом процессе можно
проиллюстрировать на примере фигуриста, который уменьшает скорость
вращения растягивая в стороны руки и ноги. Таким образом он увеличивает
момент инерции и уменьшает скорость вращения.
- изменения широты требуют соответствующих изменений
в относительной завихренности. Когда водный столб движется
по направлению к экватору, то планетарная завихренность f уменьшается,
а относительная ζ должна возрастать (рис. 12.3). если это кажется
невероятным, фон Аркс (1962) предложил нам рассмотреть бочку воды,
находящийся в покое на северном полюсе. Если бочка начнет двигаться
в южном направлении, то вода в ней будет сохранять то вращение, которое
она имела на полюсе, и окажется что вода вращается против часовой
стрелки на новой широте, где f меньше.
Рисунок 12.3. угловой момент остается константой по мере того как столб
воды изменяет широту. Эти изменения изменяют относительную
завихренность стобла. Согласно фон Арксу (1962: 110)
12.3 Роль завихренности
Основная идея сохранения потенциальной завихренности в том, что она
имеет далеко идущие последствия, и практическое применение этой идеи
для потока жидкости в океане дает глубокое понимание океанических
течений.
Поток стремиться быть зональным. В океане планетарная
завихренность имеет тенденцию превышать во много раз относительную
завихренность и отношение планетарной завихренности к толщине слоя есть
величина постоянная (f/H=constant). Для этого требуется что бы поток
в океане с постоянной глубиной был зональным. Конечно – глубины
в океане не постоянны по пространству, но в общем, течения в океане
больше стремятся течь в восточном или западном направлении
чем в северном или южном. Ветра вносят небольшие изменения
в относительную завихренность, приводящими к небольшой меридиональной
компоненте в векторе потока (см. Рисунок 11.3).
Влияние топографии на движение (топографическое управление).
Баротропный поток меняет маршрут под воздействием особенностей морского
дна. Рассмотрим что произойдет в случае когда поток, простирающийся
от поверхности до дна, случайно встретит подводную гору (рисунок 12.4).
с уменьшением глубины абсолютная завихренность f+ζ так же должна
уменьшатся, что требует что бы планетарная завихренность уменьшалась
и поток поворачивал в сторону экватора. Это так называемое
топографическое управление. Если изменения глубины очень велики,
то никаких изменений по широте не будет достаточно что бы сохранить
потенциальную завихренность, и поток не сможет пересечь гору.
Это называется топографический блок.
Рисунок 12.4. баротропный поток над подводной горой поворачивает
в сторону экватора что бы сохранить потенциальную завихренность (Дитрих
и др. 1980: 333).
Западное граничное течение Баланс завихренности дает
альтернативное объяснение существованию западного граничного течения.
Рассмотрим круговое движение потока в бассейне океана (рисунок 12.5),
скажем в Северной Атлантике с 10° N до 50° N. Ветер, дующий
над Атлантикой, добавляет отрицательной завихренности ζ t.
Завихренность вместе с водой, текущей по кругу, должна оставаться
постоянной, иначе поток должен крутиться быстрее или медленнее.
В целом, отрицательная завихренность, налагаемая ветром, должна
компенсироваться наличием источников положительной завихренности.
На всем протяжении большей части бассейна отрицательная завихренность,
сообщаемая ветром, уравновешивается возрастанием относительной
завихренности. Если поток следует в южном направлении через бассейн,
то планетарная завихренность должна убывать, а относительная должна
возрастать в соответствии с (12.9) поскольку Н, глубина ветровой
циркуляции сильно не меняется.
Однако – балланc нарушается на западе, где поток поворачивает на север,
планетарная завихренность возрастает, относительная убывает,
и необходим источник положительной завихренности. Положительная
завихренность ζ b генерируется западным граничным течением.
Рисунок 12.5. баланс потенциальной завихренности может прояснить
необходимость западного граничного течения. Левая диаграмма:
завихренность, сообщаемая ветром ζ t
уравновешивает изменения в относительной завихренностиz по мере тока
как поток движется в южном направлении и планетарная завихренность
уменьшается. Обе не уравновешиваются на западе, где относительная
завихренность должна уменьшатся поскольку поток движется по направлению
к северу, и планетарная завихренность возрастает. Правая диаграмма:
завихренность на востоке уравновешивается относительной завихренностью
ζ b генерируемой сдвигом на восточном граничном течении.
12.4. завихренность и Экмановский насос
Вращение налагает другое очень интересное вынуждающую силу (условие)
на поле геострофического потока. Что бы помочь понять эту вынуждающую
силу (условие) для начала рассмотрим поток в жидкости с постоянным
вращением. Затем мы посмотрим на то – как завихренность налагает
ограничение (условие) на поток жидкости с вращением, который изменяется
с широтой. Понимание этого условия приведет к более глубокому пониманию
результатов Свердлупа и Стоммеля, которые обсуждались в прошлой главе.
Динамика жидкости на f-плоскости: теорема
Тейлора-Продмана. Влияние завихренности, возникающей благодаря земному
вращению, в большей степени разительно для геострофического потока
жидкости с постоянной плотностью на плоскости с постоянным вращением
f=f0. три компоненты уравнений геострофики (из главы 10):
 12.13a
 12.13b
 12.13c
И уравнение неразрывности (7.19):
 12.13d
Возьмем производную по z уравнения (12.13а) и используя (12.13с) получим:
Аналогично для u-компоненты скорости (12.13b). таким образом
вертикальная производная горизонтальных компонент скорости должна
равняться нулю.
Это теорема Тейлора-Продмана, которая обращается к слабо меняющемуся
потоку в однородной, вращающейся невязкой жидкости. Теорема налагает
жесткое условие на поток:
Поэтому,
если любое небольшое движение будет сообщено вращающейся жидкости,
результирующее движение жидкости должно быть только таким, при которым
любые две частички, изначально расположенные на линии, параллельной
оси вращения, не должны сохранять это взаимное расположение,
за исключением возможных маленьких колебаний вокруг этой позиции
(Тейлор, 1921).
Следовательно – вращение делает поток более устойчивым. Геострофический
поток не может идти над горой, он должен идти вокруг нее. Тейлор (1921)
вывел в явной форме (12.14) и приведенное ниже (12.16). Продман (1916)
независимо от него вывел аналогичную теорему, но не так подробно.
Дальнейшие следствия теоремы можно получить избавляясь от слагаемых,
содержащих давление, из уравнений (12.13a, 12.13b), получим:
 12.15a
 12.15b
 12.15c
Поскольку поток несжимаемый, уравнение неразрывности требует что (12.13d) бы выполнялось:
Более того – поскольку вертикальная компонента скорости равна нулю
на поверхности и на дне, если дно плоское, то не может быть никакой
вертикальной скорости на f-плоскости. Заметим что вывод формулы (12.16)
не требует что бы плотность была константой. Он требует только
медленное движение в невязкой, вращающейся жидкости.
Динамика жидкости на бета-плоскости: Экмановский насос
Если (12.16) верно, поток не может расшириться или сократиться
в вертикальном направлении, и действительно настолько жесткий
как стальной стержень. В океане с постоянной планетарной завихренностью
может не быть градиентов вертикальной скорости. Как при этом
дивергенция Экмановского транспорта на поверхности моря может привести
к вертикальным скоростям на поверхности или в основании Экмановского
слоя? Ответ может быть только в том, что одно из ограничений,
используемых в выводе (12.16) должно быть нарушено. Одно условие,
которое можно ослабить – это требование того – что бы f было константой.
Рассмотрим поток на бета-плоскости. Если f = f0 + β y, то (12.15а) преобразуется к:
 12.17
 12.18
При выводе мы использовали (12.13а) что бы выразить v-компоненту скорости течения в правой части (12.18).
Используя уравнение неразрывности и помня что β y f 0
 12.19
Где мы должны использовать нижний индекс G что бы подчеркнуть то,
что (12.19) применима к внутренней части океанического геострофического
потока. Таким образом изменения сил Кориолиса с широтой допускают
существование вертикальных градиентов вертикальных скоростей внутри
геострофического потока в океане и вертикальные скорости приводят
к течениям, имеющих северную или южную направленность. Это объясняет
почему как Стоммелю так и Свердлупу необходимо было выполнять
их расчеты на бета-плоскости.
Экмановский насос в океане. В главе 9 мы видели, что вихрь напряжения
ветра Т генерирует дивергенцию Экмановского переноса, приводящей
к вертикальной скорости w E (0) на поверхности слоя Экмана. В главе 9 мы вывели:
 12.20
Которая представляет формулу (9.30b) где r плотность, а f параметр
Кориолиса. Поскольку вертикальная компонента скорости на поверхности
моря должна быть нулевой, то вертикальная скорость Экмана должна быть
уравновешена вертикальной геострофической скоростью w G (0).
 12.21
Экмановский насос (w E (0)) приводит в движение вертикальный геострофический поток (w G
(0)) в глубинной части океана. Но почему это генерирует течение,
направленное к северу, которое было рассчитано Свердлупом (11.6)? Питер
Ниилер (1987: 16) дал простое объяснение.
Положим,
что существует глубинный слой, где горизонтальное и вертикальное
движение воды понижено из чего-то, что находится под перемешанным
слоем. Так же – предположим, что завихренность там сохраняется (или
перемешивание мало) и поток является настоль малым, что ускорение
над поверхностью Земли намного меньше ускорения Кориолиса. В подобной
ситуации столб воды длиной Н будет сохранять свое вращение на единицу
объема, f/H (относительно солнца, параллельно оси вращения Земли).
Вращающийся столб, на который оказывается давление на поверхности
со стороны ветрового опускания (силы ветра давят вниз на поверхность,
что вынуждает длину столба Н уменьшатся) и чье основание у дна
находится в относительно покоящейся воде, стремится к уменьшению
размеров и сокращению скорости вращения. Таким образом вследствии
искривленной поверхности океана он должен двигаться по направлению
к югу (или увеличить длину) что бы восстановить свое вращение. Поэтому
необходим массивный поток на некоторой глубине под поверхностью
по направлению к югу в тех районах, где поверхностный слой генерирует
опускание, и по направлению к северу где генерируется поднятие вод.
Этот феномен впервые был должнын образом смоделирован Свердлупом (1947)
(после того как он написал «Океан») и дал правдоподобное объяснение
того – как ветер порождает глубоководную циркуляцию в океане.
Рисунок 12.6. подкачка Экмана, которая способствует опусканию
вод у основания слоя Экмана вынуждает поток во внутренней части океана
двигаться в южном направлении. См. в тексте объяснение этому феномену
(Ниилер, 1987)
Питер Ринес (1984) отметил, что жесткий (не меняющий формы и размеров)
столб воды стараясь уйти от сдавливания, наложенного со стороны
атмосферы, двигается в южном направлении. Южная составляющая скорости
в 5000 раз больше чем вертикальная Экмановская скорость.
Подкачка Экмана: примеры. Посмотрим как подкачка
Экмана способствует геострофическому потоку скажем в центре северной
части Тихого океана (рисунок 12.7) где ротор напряжения ветра
отрицателен. Западные ветра на севере способствуют южному переносу,
пассаты на юге способствуют северному переносу. Сходящийся Экмановский
перенос должен быть уравновешен геострофическим потоком, направленным
вниз (12.21)
Поскольку вода у поверхности теплее чем на глубине, вертикальный
перенос способствует возникновению «бассейна» с теплой водой. Гораздо
глубже ветровое геострофическое течение должно обратиться в нуль
(гипотеза Свердлупа) и градиенты давления на глубине должны равняться
нулю. В результате поверхность должна возвышаться куполом вверх,
поскольку столб теплой жидкости длиннее чем столб холодной жидкости
имеющий тот же вес (они должны иметь одинаковый вес, иначе давление
на глубине не будет постоянным, и тогда появятся градиенты давления).
Такое распределение плотности способствует возникновению северо-южных
градиентов давления в срединных слоях океана, которые должны быть
сбалансированы восточно-западным геострофическим течением. Короче,
дивергенция Экмановского переноса перераспределяет массы в пределах
невязкостных внутренних районах океана, приводя к ветровым
геострофическим течениям.
Сейчас продолжим эту идею включив весь север Тихого океана
что бы увидеть как ветры генерируют течения текущие против ветра.
Пример даст более глубокое понимание результатам Свердлупа, которые
мы обсуждали в 11.1.
Рисунок 12.8 показывает средние зональные ветра в Тихом океане, вместе
с северо-южным переносом Экмана, возникшем благодаря зональному ветру.
Заметим, что конвергенция переноса приводит к даунвеллингу, который
генерирует тонкий слой теплой воды в верхнем километре водного столба,
и высокий уровень моря. Рисунок 12.8 является схемой профиля региона
между 10°N и 60°N и показывает район теплой воды в верхнем километре
с центром в точке с координатой 30°N. Наоборот, дивергентный перенос
приводит к понижению уровня моря. Средние северо-южные градиенты
давления, вызванные возвышениями и понижениями, уравновешиваются
Кориолисовой силой восточно-западных течений в верхнем слое океана (см.
справа на диаграмме).
Рисунок 12.7. ветра на поверхности моря способствуют переносу Экмана
вправо от ветра в северном полушарии (жирная стрелка в заштрихованном
слое Экмана). Конвергирующий транспорт Экмана, генерируемый пассатами
и западными ветрами, способствует нисходящему геострофическому потоку
под слоем Экмана (жирная вертикальная стрелка), приводящему
к направленному вниз изгибу поверхностей постоянной плотности ri.
Геострофическое течение, связанное с теплой водой показано жирными
стрелками (Толмазин (1985: 64)).
Рисунок 12.8. пример того, как ветра генерируют геострофические
течения, текущие с той стороны, откуда дует ветер. Транспорт Экмана
благодаря ветрам, дующим в северной Пасифике (слева) приводит
к подкачке Экмана (центр), который устанавливает северные-южные
градиенты в верхнем слое океана. Градиенты давления уравновешиваются
силами Кориолиса благодаря восточным-западным геострофическим течениям
(справа). Горизонтальная линия показывает регионы где ротор зонального
напряжения ветра меняет знак. AK: Аляскинское течение, NEC: северное
экваториальное течение, NECC: северное экваториальное противотечение.
Основные выводы.
- Завихренность – сильная вынуждающая сила в динамике океана.
- Завихренность, генерируемая вращением земли гораздо больше чем другой источник завихренности.
- Тейлор и Продман показали что вертикальная скорость
невозможна в однородном вращающемся потоке. Следовательно, подкачка
Экмана требует что бы планетарная завихренность менялась с широтой.
Это объясняет почему Свердлуп и Стоммель обнаружили что циркуляция
в океане, которая приводится в движение подкачкой Экмана, требует
что бы планетарная завихренность менялась с широтой.
- Ротор напряжения ветра добавляет относительную завихренность
в центрированное круговое движение каждого океанического бассеина.
Для устойчивого состояния циркуляции в круговом вращении океан должен
терять завихренность в западном граничном течении.
- Положительный ротор напряжения ветра приводит
к дивергентному потоку в слое Экмана. Геострофическая циркуляция
во внутренних частях океана приспосабливается через перенос масс
в северном направлении.
- Сохранение абсолютной завихренности в океане с постоянной
плотностью приводит к сохранению потенциальной завихренности. Таким
образом изменения в глубине океана с постоянной плотностью требует
изменений широты течения.
Основной перевод: Павел Файман.
|
