В этой главе мы рассмотрим как реагирует поток на внешние и внутренние силы. Это приведёт к выводу некоторых основных уравнений описывающих динамику океана. В следующей главе мы обсудим влияние трения а в главе 12 последствия завихренности.

Гидромеханика использующаяся в океанографии основана на Ньютоновской динамике, модифицированной в свете наших представлений о турбулентности. Законы сохранения массы, импульса, количества движения и энергии приводят к формулам с названиями скрывающими их происхождение.

Таблица 7.1 Законы Сохранения приводящие к основным уравнениям движения жидкости

7.1 Основные силы в океане

1. Сила Тяжести – основная сила. Столб воды в океане создаёт давление, а изменения высоты столба воды создают горизонтальный градиент давления. Изменения силы тяжести вследствии движения Солнца и Луны относительно Земли вызывают приливы, приливные течения и приливное перемешивание в толще океана.
2. Сила Плавучести (архимедова сила) – сила направленная вверх или вниз, действующая на (единичную)массу жидкости более плотную или менее плотную чем окружающая вода. Например холодный ветер дующий над морем охлаждает поверхностную воду делая её более плотной чем нижележащая вода. Различия в плотности вызывают силу заставляющую поверхностную воду опускаться.
3. Ветер дующий над поверхностью моря передаёт ему горизонтальный импульс. Он тащит воду в направлении своего действия и создаёт турбулентность перемешивающую верхнии слои воды, в результате появляется океанический слой перемешивания. Кроме того ветер дующий над морской рябью приводит к необычному (особому) распределению давления над ней и заставляет рябь вырастать в волны.
4. Псевдо-силы – мнимые силы которые возникают при криволинейном движении или вращении системы координат. Таким образом в уравнениях движения для вращающейся системы координат появляются дополнительные члены, называющиеся псевдо силами. Например первый закон Ньютона утверждает что движение тела не изменится пока на него не подействует сила. Тем не менее во вращающейся системе координат будет казаться что тело движущееся с постоянной скоростью изменяет направление. Изменение направления приписывается псевдо силе – Силе Кориолиса.
5. Сила Кориолиса – основная псевдо сила влияющая на перемещение течений в системе координат связанной с Землёй.

Таблица 7.2 Силы в геофизической Гидродинамике. Обратите внимание что последние две силы важны гораздо меньше чем первые три.

7.2 Система координат

1. Декартова (прямоугольная) система координат – её я буду использовать наиболее часто в последующих главах. Она делает описание настолько простым насколько это вообще возможно. В декартовой системе мы можем описать большинство процессов без математических сложностей присущих сферической системе. По традиции в геофизической гидромехинике ось x направлена на восток, ось y на север, а ось z вверх.
2. f-плоскость. Это Прямоугольная система координат в которой сила Кориолиса считается постоянной. Она используется при описании потоков в районах мало сравнимых с радиусом Земли и с характерными масштабами больше нескольких десятков километров.
3. b-плоскость. Прямоугольная система координат в которой сила Кориолиса принимается линейно изменяющейся с широтой. Она используется для описания потоков в масштабах океанических бассейнов.
4. Сферические координаты иногда используются в численных моделях бассейнов и течений глобального масштаба для описания потоков прострирающихся на большие расстояния.

7.3 Типы потоков в океане

Существует много способов описания циркуляции океана. Вот некоторые широко распространённые термины для течений и волн.

1. Общая Циркуляция – это постоянная, усреднённая по времени циркуляция океана.
2. Меридиональная (противоциркуляция, обратная циркуляция) также известная как Термохалинная Циркуляция – циркуляция в меридиональной плоскости, вызванная разницей плотности.
3. Ветровая Циркуляция – циркуляция в верхнем километровом слое океана, она может образоваваться как за счёт локальных ветров, так и ветров дующих над большими регионами.
4. (кольца) ветровые циклонически и антициклонически направленные системы течений, с характерными масштабами сравнимыми с размерами океанических бассейнов.
   
5. Вдольбереговые Течения – течения текущие паралельно побережью. Важны два их типа:
   • западные вдольбереговые течения располагаются на западной границе океанов и представляют собой быстрые узкие струи, такие как Куросио и Гольфстрим.
   • восточные вдольбереговые течения слабые, например Калифорнийское течение.
6. Струйные Течения – протяжённые узкие течения, с пространственными размерами в несколько сотен километров, почти перпендикулярные западному побережью.
7. Среднемасштабные вихревые потоки или волны похожие на течения с масштабами в несколько сот километров.
   
8. Штормовые Нагоны – изменения уровня моря вызванное штормами приходящими на побережья с широким и мелким континентальным шельфом, такие как Мексиканский Залив и Северное море.

Кроме потоков вызванных течениями существует много типов колебательных (неустойчивывх) потоков вызванных волнами. Обычно когда мы думаем о волнах в море мы представляем себе волны разбивающиеся о берег или качающие морские корабли. Но в океане существуют и другие виды волн.

1. Планетарные Волны зависят от вращения Земли как от (вызывающей причины) и включают волны Росби, Кельвина, Экваториальные и волны Янаи.
2. Поверхностные Волны, иногда их называют гравитационными – это те которые в конце концов и разбиваются о берег. Возвращающая сила вызвана большим контрастом плотноти между воздухом и водой на морской поверхности.
3. Внутренние Волны – подводные волны, в некоторых аспектах схожие с поверхностными волнами. Возвращающая сила вызвана вертикальным градиентом плотности в море.
4. Цунами длинные поверхностные волны с периодом около 15 минут вызванные землятрясениями.
5. Приливные Волны – горизонтальные течения и внутренние волны вызванные приливным потенциалом.
6. Шельфовые Волны – волны с периодом в несколько минут приуроченные к мелководным регионам около побережья. Амплитуда их экспоненциально уменьшается с удалением от берега.

7.4 Сохранение массы и соли

Закон сохранения массы и соли может быть использован для получения очень полезной информации о потоках в океане. Например, представьте что нам захотелось узнать чистую потерю пресной воды (испарение минус осадки) в Средиземном море. Мы должны тщательно сосчитать поток скрытого тепла над поверхностью, но скорее всего у нас будет слишком мало наблюдений для того чтобы точно применить массовую формулу. Или мы можем тщательно измерить массы воды втекающие и вытекающие через Гибралтарский пролив, но разница будет слишком мала, если её вообще удастся засечь.

Тем не менее мы можем расчитать чистую потерю пресной воды зная солёность втекающей Si и вытекающей So воды, а также приблизительно объём втекающей воды Vi в м3/с Рис 7.1)

Масса втекающей воды по определению равна, ri*Vi. Согласно закону сохранения массы:

riVi = roVo (7.1)

где, ri,ro – плотность втекающей и вытекающей воды. Обычно мы можем принять их равными друг другу ri = ro.
Если выпадение осадков P и испарение E на поверхности бассейна, а R – привнос воды реками, то по закону сохранения массы:

Vi + R + P = Vo +E (7.2)

Разрешая для ( Vo – Vi):

Vo- Vi = (R + P) -E (7.3)

Согласно которой в среднем за достаточно большой промежуток времени разница между втекающей и вытекающей водой должна находиться в балансе с поступлением осадков плюс привнос воды реками минус испарение.

Так как соль в океане не осаждается и никаким другим способом из него не пропадает уравнение сохранения соли будет иметь вид:

riViSi = roVoSo (7.4)

Где ri, Si плотность и солёность втекающей воды, а ro, So плотность и солёность ытекающей воды. Плотности мы снова можем принять равными друг другу ri = ro.

Рисунок 7.1 Схематичное изображения потоков входящих и выходящих из бассейна. Взято из Pickard and Emery, 1990

Пример применения закона сохранения масс и соли

Пиккард и Эмери (1990) в своей Описательной Физической океаногрфии (Descriptive Physical oceanography) применили эту теорию к потоку в Средиземном Море, используя значения солёности представленные на рисунке 7.2. Входящий объём воды был оценён в 1.75*106 м3/с=1.75Св, где Св=Свердруп=106 м3/с – единица объёма используемая в океанографии. Решая уравнение 7.4 при условии что ri = ro и используя оценённое значение Vi с измеренными значениями солёности получим Vo = 1.68 x 106 м3/с. Подставляя это значение в формулу 7.3 получим (R + P -E) = -7 x 104м3/с.

Зная Vi мы также можем посчитать минимальное время обновления всей воды моря. Tm равняется объёму всей воды моря поделённому на объём входящей воды. Объём Средиземного моря приблизительно 4 x 106 км3. Переводя 1.75 x 106м3/с в км3/год мы получим -5.5 x 104 км3/год. Тогда Tm = 4 x 106км3/-5.5 x 104 км3/год = 70 лет. Реальное время зависит от перемешивания в толще моря. Если воды хорошо перемешаны, время полного обновления близко к минимальному, если нет то оно больше.

Наш пример с потоком в Средиземном море это вариант бокс модели (box model). В этих моделях большие системы, такие как Средиземное море, заменяют боксами. Жидкость, химические вещества или живые организмы могут перемещаться между боксами, и уравнения сохранения используются для того чтобы вызывать и контролировать различные взаимодействия внутри системы.

7.5 Полная производная

Если число боксов в системе будет увеличивается до такого количества что размер каждого бокса станет очень малым, мы в конце концов достигнем предела используемого в дефференциальном исчеслении. Например если мы разделим поток воды на боксы с ребром в несколько метров, то сможем прийти к дефференциальным уравнениям описывающим поток жидкости.

Рассмотрим простой пример ускорения движения потока в маленьком кубе жидкости. Результирующее уравнение называется полной производной. Оно связывает ускорение частицы воды с производной поля скорости в фиксированной точке жидкости. Чтобы вывести уравнения движения жидкости мы будем использовать Второй Закон Ньютона, который позволяет расчитывать ускорение частиц проходящих через фиксированную точку в жидкости.

Мы начнём с рассмотрения потока имеющего параметры qin на входе и qout на выходе небольшого бокса, изображённого на рисунке 7.3.

Рисунок 7.3 Изображение потока использованное для вывода полной производной.

Если q может изменятся непрерывно в пространстве и времени, то отношения между qin and qout будут иметь вид:

(7.5)

Величина изменений параметра q внутри объёма будет равняться:

(7.6)

Но dx / dt – это скорость u; поэтому:

В трёх измерениях полная производная принимает вид:

(7.7a)

(7.7b)

где u – вектор скорость а – опрератор дельта из теории векторного поля. (См. Feynman, Leighton, and Sands 1964?: 2--6).

Это удивительный результат. Простое изменение системы координат связанной с движущейся частицей на систему зафиксированную в пространстве изменяет простую линейную производную на нелинейную частную производную. Давайте теперь используем это уравнение чтобы сосчитать изменение количества движения частицы жидкости .

7.6 Уравнение количества движения

Второй Закон Ньютона связывает изменение количества движения жидкости с приложенной к ней силой. Изменения имеют вид:

(7.8)

Где F- сила, v- скорость а m – масса. Здесь мы должны использовать полную производную, так как мы расчитываем силу для частицы жидкости. Мы можем принять массу постоянной и написать:

(7.9)

где f _m – это сила действующая на единицу массы (массовая сила)

Для нас важны четыре силы: градиента давления, Cила Кориолиса, Cила Тяжести и Сила Трения. Не раскрывая вид этих сил (их производные будут рассмотрены в следующем блоке) можно записать что:

(7.10)

Ускорение равно отрицательному градиенту давления минус сила Кориолиса плюс сила тяжести плюс другие силы. Здесь g – ускорение силы тяжести, Fr – сила трения, а – угловая скорость вращения Земли (2p разделить на 24 часа)

(7.11)

Уравнение количества движения в прямоугольной системе координат:

Раскрыв производные и переписав компоненты уравнения (7.10) в прямоугольной системе координат получим Уравнение движения.

(7.12a)

(7.12b)

(7.12c)

Где Fi – компоненты всех сил трения действующих на единицу массы иj – широта. К тому же мы предполагаем что w<

Уравнение 7.12 называют по разному. Леонард Эйлер (1707 – 1783) первым записал его в общем виде для потока жидкости с внутренними силами, поэтому иногда оно называется уравнением Эйлера или уравнением ускорения. Луис Мария Генри Навье (1785–1836) добавил силы трения и теперь уравнение иногда называют Уравнение Навье Стокса.

Член 2W w cos(j) в уравнении 7.12 с гораздо меньше g, поэтому им можно пренебрегать при описании динамики океана. Но этого не следует делать при измерениях силы тяжести гравиметрами с движущихся кораблей.

Рисунок 7.4 Изображение потока использованное для вывода члена плотности в уравнении количества движения.

Производная члена (элемента) давления.

Рассмотрим силы действующие на стороны маленького кубика жидкости. Равнодействующая сила dFx в направлении x равна:

dF _x = pdy dz-(p+ dp)dy dz 
dF _x = -dp dy dz

но

и поэтому

При делении на массу воды находящуюся в боксе dm, ускорение жидкости по оси x составит:

(7.13)

Силы давления и ускорения этими силами вызываемые по осям y и z выводятся подобным образом.

Сила Kориолиса в уравнении движения

Член силы кориолиса присутствует потому что мы описываем течения на вращающейся Земле. Производная Силы кориолиса очень сложна. Генри Стоммел (Henry Stommel), знаменитый океанограф из Океанографического Института в Вудс Холе (Woods Hole Oceanographic Institution) вместе с Денисом Муром (Dennis Moore) посвятили ей целую книгу (Stommel & Moore, 1989) .

Обычно мы утверждаем что массовая сила, ускорение частицы жидкости, во вращающейся системе координат будет записано как:

(7.17)

Где R- векторное расстояние от центра Земли. W – угловой вектор скорости Земли а v – скорость частицы жидкости в координатах зафиксированных на земле. Член 2W x – сила Кориолиса, а Wґ(WґR) – центробежное ускорение. Последний член включён в силу тяжести (рис 7.5).

Сила Тяжести в уравнении движения

Гравитационное притяжение между двумя массами M1 и m, выражается формулой:

Где R – расстояние между массами, а G – гравитационная постоянная. Вектор силы тяжести Fg действует вдоль линии соединяющей центры масс. Сила тяжести действующая на единицу массы будет равна:

(7.15)

Где M _E – масса Земли. Добавив центробежное ускорение в (7.15) получим тяготение g (рис 7.5)

g = gf – W x (W x R) (7.16)

Отметим что сила тяжести не направлена к центру масс Земли. Центробежное ускорение заставляет грузик отвеса отклонятся под небольшим углом от линии проходящей через Земной центр масс. В результате форма Земли представляет собой не сферу а сплюснутый с двух сторон элипсоид. Земля это вращающаяся жидкая планета имеющая выпуклость в районе экватора.

Рисунок 7.5 Ускорение g тела на поверхности Земли как сумма ускорения свободного падения между телом и Землё – gf и центробежного ускорения вызванного вращением Земли W x (Wx R). Невзволнованная поверхность океана должна быть перпендикулярна g и имеет форму элипсоида вращения. Элиптичность Земли здесь сильно преувеличена.

7.7 Закон Сохранения Массы: уравнение неразрывности

Теперь давайте выведем уравнение сохранения массы для жидкости. Начнём с того что опишем потоки массы идущие внутрь и наружу маленького куба. (рис 7.6)

Рисунок 7.6 Изображение потока использованное для вывода уравнения неразрывности

Изменение массы внутри объёма должно быть равно (поток массы внутрь)-(поток массы наружу)

Третий член в круглых скобках становится гораздо меньше чем первые два, так как x 0 и 

переписывая по осям (в трёх измерениях)

Изменение массы внутри объёма будет равно:

И по закону сохранения массы общее изменение массы должно быть равно нулю:

(7.17)

Это уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости, впервые выведенное Леонардом Эёлером (1707–1783).

Раскрыв производные и переместив слагаемые мы можем переписать уравнение в форме:

Первые четыре члена – это полная производная Dr / Dt? из уравнения (7.7), следовательно мы можем переписать (7.17) как :

(7.18)

Это другая форма записи уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости.

Приближение Буссинеска

1. Скорости в океане должны быть гораздо меньше скорости звука c. Это даёт гарантию того что скорость не изменяет плотность. Если скорость достигает скорости звука, она может приводить к серьёзным изменениям плотности, таким как ударные волны.
2. Фазовая скорость волн должна быть гораздо меньше с. Скорость звука в несжимаемой жидкости бесконечно большая и при рассмотрении звука в океане мы должны предполагать жидкость сжимаемой. Это приближение не работает для звуковых волн, но у всех других волн в океане скорости гораздо меньше.
3. Вертикальный масштаб движения должен быть гораздо меньше чем с2/g, где g – сила тяжести. Это обеспечивает то что давление с глубиной увеличивается, а увеличение давления вызывает очень небольшие изменения плотности.

Эти условия выполняются для всех океанских потоков и обеспечивают возможность рассмотрения воды как несжимаемой. Смотрите также Kundu (1990: 79 and 112), Gill (1982: 85),Batchelor (1967: 167), или другие тексты по гидромеханике, где более полно описано это приближение.

Сжимаемость.

где V – объём и p – давление. Для несжимаемой жидкости b = 0, и :

так как dp/dt не равно 0. Вспоминая что плотность это масса поделённая на единицу объёма, а масса постоянна, запишем:

следовательно (7.18) принимает вид:

(7.19)

Это Уравнение Неразрывности для несжимаемой жидкости.

7.8 Решения для уравнения движения

У нас есть четыре уравнения – три компонента из уровнения сохранения количества движения и плюс уравнение неразрывности с четырьмя неизвесными u, v, w, p. В принципе мы должны суметь решить эту систему с заданными граничными условиями.
Но следует учесть что это нелинейные частно-дефференциальные уравнения. Закон сохранения количества движения применённый к жидкости превращает уравнение для скорости из простого монотонного дифференциальное урвнения первого порядка, которое обычно просто решается, в нелинейное уравнение в частных производных, которое практически невозможно решить.

Граничные условия;
В гидромеханике мы обычно принимаем что :

1. Нет скорости нормальной к границе, что значит отсутствие течения через границу.
2. Нет течения праллельного твёрдой (сплошной) границе, что значит отсутствие скольжения на твёрдой границе.

Решения

Мы ожидаем что система их четырёх уравнений с четырьмя неизвестными будет разрешима в принципе. Но на практике трудно найти решения даже для простейших потоков. Во первых, насколько мне известно, не существует точных решений для уравнений с трением. Существует только несколько точных решений для уравнений без трения. Те кто интересуется волнами в океане могут знать что одним из таких решений является решение Герстнера (Gerstner) для волн на воде (Lamb, 1945: 251). Чтобы решить эти уравнения мы должны их кардинальным образом упростить. Даже численные расчёты для них сложны.
Аналитические решения могут быть найдены для большинства упрощённых форм уравнения движения. Такие решения используются для изучения различных процессов в океане, включая волны. Решения для потоков в океане с реальным побережьем и элементами дна должны находится при помощи численных методов. В следующих главах мы будем использовать решения для упрощённых форм уравнений. В главе 16 мы обсудим численные решения.

Основные концепции

1. Сила тяжести, сила плавучести и сила ветра – главные силы действующие в океане.
   
2. Вращение земли вызывает псевдо силу – силу Кориолиса.
3. Законы сохранения применённые к потоку в океане приводят к уравнениям движения, сохранения соли, объёма и других параметров, способствующим более глубокому пониманию океанического потока.
   
4. Переход от уравнений движения применяемых для перемещающейся частицы жидкости к уровнениям для фиксированной в пространстве точки, сильно усложняет уравнения движения. Ньютоновские (классические) уравнения динамики массы ускоряемой силой, становятся нелинейными уравнениями гидромеханики в частных производных.
5. Вода в океане может считаться несжимаемой, кроме тех случаев когда мы описываем звуковые явления.
6. Закон сохранения массы приводит к уровнению неразрывности, имеющему особенно простую форму для несжимаемой жидкости.